Question

如图，在Rt△OAB中，∠B=9O°，点B的坐标为（1，2），将△OAB绕点O按逆时针旋转90°，得到△OA₁B₁．
（1）分别求点A₁、B₁的坐标；
（2）求旋转过程中点B通过的路径的长；
（3）连接BB₁，交y轴于点M，求的值．

Answer 1

解：（1）过点B作x轴的垂线BE，垂足为E，
∵点B的坐标为（1，2），则OE=1，BE=2，
∵∠OEB+∠BOE=90°，∠OBE+∠ABE=90°，
∴∠BOE=∠ABE，
∵∠OEB=∠BEA=90°，
∴△BOE∽△ABE，
∴BE²=OE×EA，EA=4，
∴OA=5，
∴A₁的坐标为（0，5），B₁的坐标为（-2，1）

（2）∵OB==，∠BOB₁=90°，
∴旋转过程中点B通过的路径的长l==π；

（3）∵∠A₁OB+∠AOB=90°，∠BAO+∠AOB=90°，
∴∠A₁OB=∠BAO，
∵∠BAO=∠B₁A₁O，
∴∠A₁OB=∠B₁A₁O，
∴A₁B₁∥OB，
∴△BOM∽△B₁A₁M，
∴OM：MA₁=OB：A₁B₁=1：2．
分析：（1）过点B作x轴的垂线BE，垂足为E，利用已知条件证明△BOE∽△ABE，再利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出OA的长，进而求点A₁、B₁的坐标；
（2）由（1）中的数据和弧长公式计算即可；
（3）若要求，只要证明∴△BOM∽△B₁A₁M，即可得到OM：MA₁=OB：A₁B₁=1：2．
点评：本题考查了点的坐标的求法、旋转的性质、相似三角形的判定和性质以及弧长公式的运用，题目的综合性很强，难度也不小．