Question

如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，BO=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F．点P从点A出发沿射线AO以每秒2个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒．

（1）当t=　　时，PQ∥EF；

（2）若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′与线段EF有公共点时，t的取值范围是　　．

Answer 1

：0＜t≤1且t≠． 解：（1）如图1，当PQ∥EF时，

则∠QPO=∠ENA，

又∵∠AEN=∠QOP=90°，

∴△AEN∽△QOP，

∵∠AOB=90°，AO=，BO=1，

∴tanA===，

∴∠A=∠PQO=30°，

∴==，

解得：t=，

故当t=时，PQ∥EF；

（2）如图2，∵∠BAO=30°，∠BOA=90°，

∴∠B=60°，

∵AB的垂直平分线交AB于点E，

∴FB=FA，

∴△FBA是等边三角形，

∴当PO=OA=时，此时Q′与F重合，A与P′重合，

∴PA=2，则t=1秒时，线段P′Q′与线段EF有公共点，

故当t的取值范围是：0＜t≤1，由（1）得，t≠．