Question

如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4，BC=3，DE∥AB与AC、BC分别相交于D、E，CF⊥DE于F，G为AB上任意一点，设CF=x，△DEG的面积为y，当DE在△ABC的内部平行移动时，
（1）求x的取值范围；
（2）求函数y与自变量x的函数关系式；
（3）当DE取何值时，△DEG的面积最大，并求其最大值．

Answer 1

解：（1）∵∠C=90°，AC=4，BC=3
∴AB==5
∴AB边上的高=AC×BC÷AB=2.4
∴0＜x＜2.4

（2）∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴DE：AB=CF：2.4
∴DE=x
∴y=×x×（2.4-x）=-x²+x（0＜x＜2.4）

（3）由（2）知：y=（x-）²+；因此当x=时，y值最大，且最大值为1.5
所以当DE=x=×=时，△DEG的面积最大，最大值为1.5．
分析：（1）易得AB长，以及AB边上的高．那么CF最小应大于0，最大不会超过AB边上的高．
（2）由DE∥AB可知∠CED=∠B，利用平行可得到△CDE∽△CAB，进而求得DE长，而DE边上的高等于2.4-CF，根据三角形的面积公式，可求出y，x的函数关系式．
（3）结合（2）的结论，利用二次函数的最值求解．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质，以及直角三角形面积的不同表示方法．