Question

如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，将△ADC沿AC边翻折得到△AEC，连接DE．
（1）证明△ADE是等边三角形；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，证明四边形AFCE是矩形．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠CAB=60°，
∵点D是BC边的中点，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∵将△ADC沿AC边翻折得到△AEC，
∴AD=AE，∠CAE=∠DAC=30°，CD=CE，
∴∠DAE=60°，
∴△DAE是等边三角形．

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=60°，
∵F为AB中点，D为BC中点，
∴AF=CD=CE
∵∠CAE=30°，
∴∠FAE=90°，
∵△ABC的面积S=AB×CF=BC×AD，
∴CF=AD，
∵AD=AE，
∴CF=AE，
即AF=CE，AE=CF，∠FAE=90°，
∴四边形AFCE是矩形．
分析：（1）根据等边三角形性质得出AB=AC，∠CAB=60°，求出∠DAC=∠CAE=30°，求出AD=AE∠DAE=60°，根据等边三角形的判定推出即可；
（2）求出AF=CD=CE，CF=AD=AE，求出∠FAE=90°，根据矩形的判定推出即可．
点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的面积，矩形的判定，翻折性质的应用，主要考查学生的推理能力．