Question

如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC，BC于点D，F，下列结论：
①∠CDF=α；②A₁E=CF；③DF=FC；④BE=BF．
其中正确的有

1. A.
   ②③④
2. B.
   ①③④
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②③

Answer 1

C
分析：根据旋转的性质得∠ABA₁=∠CBC₁=α，∠C₁=∠C，BC=BC₁，而∠DFC=∠BFC₁，根据三角形内角和定理可得∠CDF+∠C=∠FBC₁+∠C₁，则∠CDF=α；利用AB=BC旋转的性质得BA=BC₁，∠A=∠C=∠C₁，然后根据“ASA”可判断△BAE≌△BC₁F，所以BE=BF；利用BA=BA₁=BC，得BA₁-BE=BC-BF，即A₁E=CF；由于∠CDF=α，是变化的角，则∠CDF≠∠C，
于是DF≠FC．
解答：∵将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A₁BC₁，
∴∠ABA₁=∠CBC₁=α，∠C₁=∠C，BC=BC₁，
∵∠DFC=∠BFC₁，
∴∠CDF+∠C=∠FBC₁+∠C₁，
∴∠CDF=α，所以①正确；
∵AB=BC，
∴BA=BC₁，∠A=∠C=∠C₁，
在△BAE和△BC₁F中，
，
∴△BAE≌△BC₁F，
∴BE=BF，所以④正确；
∵BA=BA₁=BC，
∴BA₁-BE=BC-BF，
∴A₁E=CF；所以②正确；
∵∠CDF=α，
∴∠CDF≠∠C，
∴DF≠FC，所以③错误．
故选C．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．