Question

14．在△ABC中，∠C=60°，D在AB的上方，∠ADB=90°，∠ABD=60°，点E是BC的中点，若AC=6，DE=7，线段BD的长度为$\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 如图，延长CB到M，使得∠DMC=60°，延长CA、MD交于点N，取AB中点F，连接EF、DF．首先说明△CMN，△DBF是等边三角形，再证明△EFB≌△MBD，得BM=EF=3，EB=DM，设EB=DM=a，在Rt△DEH中，利用勾股定理求出a，再在Rt△BDH中利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图，延长CB到M，使得∠DMC=60°，延长CA、MD交于点N，取AB中点F，连接EF、DF．

在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠ABD=60°，AF=BF，
∴DF=AF=BF，△BFD是等边三角形，
∴BD=BF，
∵CE=EB，AF=BF，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴∠FEB=∠C=60°=∠M，∠FEB=∠C=60°，
∵∠DBM+60°+∠ABC=180°，∠ABC+∠EFB+60°=180°，
∴∠EFB=∠DBM，
在△EFB和△MBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFE=∠DBM}\\{∠FEB=∠M}\\{BF=BD}\end{array}\right.$，
∴△EFB≌△MBD，
∴BM=EF=3，EB=DM，设EB=DM=a，
在Rt△EDH中，∵∠DHE=90°，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，EH=3+a-$\frac{1}{2}$a=3+$\frac{1}{2}$a，DE=7，
∴7²=（3+$\frac{1}{2}$a）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²，
解得a=5或-8（舍弃）
∴DH=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$，BH=3-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△DBH中，DB=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}\sqrt{3}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{19}$．
故答案为$\sqrt{19}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造等边三角形以及全等三角形解决问题，题目比较难，属于竞赛题目．