Question

9．如图，AD∥BC，AB=AD+BC，AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，点F在AB上，且AF=AD．若AE=5，BE=4，则四边形ABCD的面积为20．

Answer 1

分析 如图连接EF，只要证明△AEF≌△AED，△BEC≌△BEF，△AEB是直角三角形，可得S_{四边形ABCD}=2S_△AEB，由此即可解决问题．

解答 解：如图连接EF．

在△AED和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠EAD=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AEF，
∴∠DEA=∠FEA，S_△AED=S_△AEF
∵AB=AD+BC=AF+FB，
∴BF=BC，
在△EBC和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=EB}\\{∠EBC=∠EBF}\\{BC=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△EBF，
∴∠BEF=∠BEC，S_△EBC=S_△EBF，
∵2∠AEF+2∠BEF=180°，
∴∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠AEB=90°，
∴S_△AEB=$\frac{1}{2}$×4×5=10，
∵S_{四边形ABCD}=2S_△AEB=20．
故答案为20

点评 本题考查全等三角形的判定和性质．三角形的面积、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．