Question

如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；
（1）填表：

剪的次数	1	2	3	4	5
正方形个数	4	7

（2）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？
（3）如果剪n次，共剪出多少个小正方形？
（4）能否经过若干次分割后共得到2009片纸片？若能，请直接写出相应的次数，若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）后一个图形中的个数总比前一个图形中的个数多3个，填表如下：

剪的次数	1	2	3	4	5
正方形个数	4	7	10	13	16

（2）剪n次，共剪出小正方形的个数为：4+3（n-1）=3n+1；

（3）设经过n次分割后共得到2009片纸片．
根据题意，得3n+1=2009，3n=2008．
此时n不是整数，
所以不能．

分析：（1）剪一次是4个小正方形，以后每剪一次都是少1个多4个（即多3个）小正方形，照此填表即可；
（2）由于每剪一次都是多3个小正方形，而第一次是4个小正方形，所以剪n次，共剪出小正方形的个数为4+3（n-1）=3n+1；
（3）由（2）中的数据规律列方程，如果有正整数解，则能够；否则，就不能．
点评：本题考查规律型中的图形变化问题，同时考查学生观察、分析、归纳和应用规律的能力．