Question

关于x的一元二次方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根α、β．
（1）求k的取值范围；
（2）若α+β+αβ=6，求（α-β）²+3αβ-5的值．

Answer 1

解：（1）∵方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0即（2k-3）²-4×1×k²＞0
解得k＜；
（2）由根与系数的关系得：α+β=-（2k-3），αβ=k²．
∵α+β+αβ=6，
∴k²-2k+3-6=0
解得k=3或k=-1，
由（1）可知k=3不合题意，舍去．
∴k=-1，
∴α+β=5，αβ=1，
故（α-β）²+3αβ-5=（α+β）²-αβ-5=19．
分析：（1）由于关于x的一元二次方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根α、β，那么其判别式应该是一个正数，由此即可求出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可以得到α+β=-（2k-3），αβ=k²，而α+β+αβ=6，由此可以求出k的值，再把（α-β）²+3αβ-5变为（α+β）²-αβ-5，代入前面的值就可以求出结果．
点评：此题首先利用一元二次方程的判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系求出k的值，接着把所求的代数式变形为两根之和与两根之积的形式，代入值就解决问题．