Question

如图所示，抛物线y=ax²+bx（a＜0）的图象与x轴交于A、O两点，顶点为B，将该抛物线的图象绕原点O旋转180°后，与x轴交于点C，顶点为D，若此时四边形ABCD恰好为矩形，则b的值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：利用矩形性质得出要使平行四边形ABCD是矩形，必须满足AC=BD，即可求出．

解答：解：如图，连接AB、OB．过点B作BE⊥x轴于点E．
要使平行四边形ABCD是矩形，必须满足AC=BD，
∴OA=OB．
∵点B是抛物线的顶点，
∴AB=OB，
∴△ABO是等边三角形，
∠BAE=60°，AE=

1

2

OA．
∵y=ax²+bx=ax（x+

b

a

）=0，y=ax²+bx=a（x-

b

2a

）²-

b2

4a

∴A（-

b

a

，0），B（

b

2a

，-

b2

4a

），
∴tan60°=

BE

AE

=

- b2 4a

- b 2a

=

3

2

．
解得 b=-2

3

．
故答案是：-2

3

．

点评：此题主要考查了二次函数图象的几何变换，根据矩形的性质和等边三角形的判定与性质得到△ABO是等边三角形是解题的难点．