Question

如图，等边△ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点．设线段MN运动的时间为t秒，四边形MNQP的面积为S厘米²．则表示S与t的函数关系的图象大致是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：过点C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质可得AD=BD=AB，然后分：①点N在AD上时，P、Q都在AC上，利用∠A的正切值表示出PM、QN，然后根据梯形的面积公式列式整理即可得到S与t的函数关系式；②点N在BD上，点M在AD上时，点P在在AC上，点Q在BC上，先表示出AM、BN，再利用∠A、∠B的正切值表示出PM、QN，然后根据梯形的面积公式列式整理即可得到S与t的函数关系式；③点M在BD上时，点P、Q都在BC上，利用∠B的正切值表示出PM、QN，然后根据梯形的面积公式列式整理即可得到S与t的函数关系式．
解答：解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵等边△ABC的边长为4厘米，
∴AD=BD=AB=×4=2，
①点N在AD上时，0≤t≤1，P、Q都在AC上，
∵MN=1，
∴AM=t，AN=t+1，
∴PM=AM•tan60°=t，QN=AN•tan60°=（t+1）=t+，
S=（t+t+）=t+；
②点N在BD上，点M在AD上时，1＜t＜2，点P在在AC上，点Q在BC上，
AM=t，BN=4-t-1=3-t，
PM=AM•tan60°=t，QN=BN•tan60°=（3-t）=3-t，
S=（t+3-t）=；
③点M在BD上时，2≤t≤3，点P、Q都在BC上，
BM=4-t，BN=4-t-1=3-t，
PM=BM•tan60°=（4-t）=4-t，QN=BN•tan60°=（3-t）=3-t，
S=（4-t+3-t）=-t+；
综上所述，四边形MNQP的面积为S=，
函数图象为三段线段．
纵观各选项，只有A选项图形符合．
故选A．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据点P、Q所在的位置，确定出PM、QN的长度，然后利用梯形的面积公式列式得到S与t的函数关系式是解题的关键，也是本题的难点．