Question

已知抛物线m：y=ax²+2ax+a-1，顶点为A，若将抛物线m绕着点（1，0）旋转180°后得到抛物线n，顶点为C．
（1）当a=1时．试求抛物线n的顶点C的坐标，再求它的解析式；
（2）在（1）中，请你分别在抛物线m、n上各取一点D、B（除点A、C外），使得四边形ABCD为平行四边形（直接写出所取点的坐标，并至少写出二种情况）；
（3）设抛物线m的对称轴与抛物线n的交点为P，且|AP|=6，试求a的值．

Answer 1

解：（1）当a=1时，抛物线m的解析式为y=x²+2x，A（-1，-1），
当点A（-1，-1）绕着点（1，0）旋转180°后所得点C坐标为（3，1），
根据题意，可得抛物线n的解析式为y=-（x-3）²+1，
即y=-x²+6x-8；

（2）如：D（-2，0）与B（4，0）或D（0，0）与B（2，0）或D（-3，3）与B（5，-3）．（答案不唯一）

（3）抛物线n的解析式可表示为y=-a（x-3）²+1，
即y=-ax²+6ax-9a+1，
∵A（-1，-1），当x=-1时，y=-a-6a-9a+1=-16a+1，
∴|-1-（-16a+1）|=6，
当16a-2=6时，16a=8，a=，
当16a-2=-6时，16a=-4，a=，
∴或．
分析：（1）先根据旋转的性质得出抛物线n的方程，将a的值代入抛物线方程中，利用顶点公式即可得出C的坐标；
（2）欲使四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可直接得出D和B点的坐标；
（3）先将抛物线的方程化为顶点式，将A的坐标代入，可得出a的值（注意A的值有两个）．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象旋转的性质等知识点，关键是要得出旋转后的函数解析式．