Question

如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，3）为圆心、5为半径的圆与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C、D（点C在点D的上方），经过B、C两点的抛物线的顶点E在第二象限.（1）求点A、B两点的坐标.

（2）当抛物线的对称轴与⊙M相切时, 求此时抛物线的解析式.

（3）连结AE、AC、CE，若．

①求点E坐标；

②在直线BC上是否存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）（-4，0）、（4，0）

（2）

（3）①；②

【解析】

试题分析：（1）连结M A，根据勾股定理可得OA=4，所以点A的坐标是（-4，0），同理可求点B的坐标是（4，0）；（2）设经过B、C两点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把点C（0,8），点B（4，0）分别代入解析式，又抛物线的对称轴与⊙M相切，所以对称轴是x=-5，解方程组便可；（3）①因为，又在Rt△AOC中， 所以可得出AE∥CO，因此点A在抛物线的对称轴上，所以对称轴是x=-4，从而可求出二次函数解析式，可确定点E坐标，②因为根据条件可知∠CAE=∠ACO=∠BCD，因此以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似时，需要分两种情况讨论.

试题解析：（1）连结M A，由题意得：AM=5，OM=3，则OA=4，同理得OB=4，

∴点A、点B的坐标分别是（-4，0）、（4，0） 4分

（2）设经过B、C两点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把点C（0,8），点B（4，0）分别代入解析式

∴c=8,0=16a+4b+8，∴b=-4a-2；

此时，y=ax2+（-4a-2）x+8（a≠0），

它的对称轴是直线：x==；

又∵抛物线的顶点E在第二象限且该抛物线的对称轴与⊙M相切，

则=-5，∴a=，b=，

∴抛物线的解析式为； 8分

（3）①在Rt△AOC中，，而，

∴，所以AE∥CO，即点A在抛物线的对称轴上 10分

又∵y=ax2+（-4a-2）x+8，∴，∴a=；

∴

∴E 12分

②在直线BC上存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似，

点P的坐标为 16分（每个点P的坐标各2分）

考点：1.勾股定理；2.轴对称；3.待定系数法求函数解析式；4.三角函数；5.相似三角形的判定.