Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的三边，交点分别是G，E，F点．EG与CD交点为M．
（1）求证：∠GEF=∠A；
（2）求证：△OME∽△EMC；
（3）若ME=4

6

，MD：CO=2：5，求⊙O面积．

Answer 1

分析：（1）连接DF，如图所示，由CD为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠CFD为直角，又因为∠ACB为直角，利用同位角相等的两直线平行，得到DF与AC平行，根据两直线平行同位角相等可得出∠BDF=∠A，而∠BDF与∠GEF都为弧FG所对的圆周角，利用同弧所对的圆周角相等得到∠BDF=∠GEF，等量代换可得证；
（2）由D为AB的中点，即CD为直角三角形ABC斜边AB的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD与AD相等，都为AB的一半，利用等边对等角得到∠A=∠DCA，由（1）∠A=∠GEF，等量代换得到∠GEF=∠DCA，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得证；
（3）由（2）得出的三角形CEM与三角形MOE相似，利用相似得比例，得到ME²=OM•MC，将ME的长代入求出OM•MC的值为96，由MD：CO=2：5，根据OD=OC，得出OM与CM的比值为3：8，设OM=3x，CM=8x，代入OM•MC=96中列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出半径OC的长，即可求出圆O的面积．

解答：（1）证明：连接DF，如图所示：

∵CD是圆O直径，
∴∠CFD=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵∠BDF与∠GEF为同弧所对的圆周角，
∴∠BDF=∠GEF，
∴∠GEF=∠A；                               

（2）证明：∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴DC=DA=

1

2

AB，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A，
∴∠DCA=∠GEF，
又∵∠OME=∠EMC，
∴△OME∽△EMC；                        

（3）解：由（2）知△OME∽△EMC，
则

OM

ME

=

ME

MC

，即ME²=OM•MC，
又∵ME=4

6

，
∴OM•MC=（4

6

）²=96，
∵MD：CO=2：5，
∴OM：MD=3：2，
∴OM：MC=3：8，
设OM=3x，MC=8x，
∴3x•8x=96，即x²=4，
解得：x=2，
∴OC=5x=10，
∴圆O面积为100π．

点评：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：平行线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线性质，相似三角形的判定与性质，比例的性质，利用了等量代换及方程的思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．