Question

15．在⊙O中，AB 是直径，P是AB上的一点，且∠NPB=45°
（1）如图1，若点P与圆心O重合，求$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$的值；
（2）如图2，若MP=1，NP=7，求$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$的值；
（3）如图3，当点P在AB上运动时，（2）中结论是否改变？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．

Answer 1

分析 （1）设⊙O的半径为r，利用MP=NP=AP=BP=r可计算出$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如图2，作OH⊥MN于H，连接ON，根据垂径定理得到MP=NP=$\frac{1}{2}$MN=4，则PH=3，再根据等腰直角三角形的性质得OH=PH=3，接着根据勾股定理计算出ON=5，然后计算$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$的值；
（3）作OH⊥MN于H，连接OM，如图2，设PM=a，PN=b，根据垂径定理得到MP=NP=$\frac{a+b}{2}$，则PH=$\frac{a-b}{2}$，再根据等腰直角三角形的性质得OH=PH=$\frac{a-b}{2}$，接着根据勾股定理计算出OM=$\sqrt{ab}$，然后计算$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$的中可得到$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）设⊙O的半径为r，
∵点P与圆心O重合，
∴MP=NP=AP=BP=r，
∴$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$=$\frac{{r}^{2}+{r}^{2}}{4{r}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如图2，作OH⊥MN于H，连接ON，
∴MP=NP=$\frac{1}{2}$MN=4，
∴PH=MH-MP=4-1=3，
∵∠NPB=45°，
∴OH=PH=3，
在Rt△PON中，ON=$\sqrt{O{H}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$=$\frac{{1}^{2}+{7}^{2}}{1{0}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
（3）（2）中结论不改变．
作OH⊥MN于H，连接OM，如图2，设PM=a，PN=b，
∴MP=NP=$\frac{a+b}{2}$，
∴PH=NH-PN=$\frac{a-b}{2}$，
∵∠NPB=45°，
∴∠OPH=45°，
∴OH=PH=$\frac{a-b}{2}$，
在Rt△OMH中，OM=$\sqrt{O{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{a+b}{2}）^{2}+（\frac{a-b}{2}）^{2}}$=$\sqrt{ab}$，
∴$\frac{{MP}^{2}+{NP}^{2}}{{AB}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{（2\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和等腰直角三角形的性质；会运用勾股定理计算线段的长．过圆心作弦的垂线是常作的辅助线．