Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：
①△ABD是正三角形；②若AF=2DF，则EG=2DG；③△AED≌△DFB；④S_{四边形BCDG}=

3

4

CG²；
其中正确的结论是

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：①由ABCD为菱形，得出AB=AD，AB=BD，得出ABD为等边三角形；
②过点F作FP∥AE于P点，根据题意有DP：PE=DF：DA=1：2，而点G与点P不重合，否则与与原题矛盾，所以EG=2DG错误；
③△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；
④证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}，易求后者的面积．

解答：解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD为等边三角形．
故本小题正确；

②过点F作FP∥AE于P点，

DP：PE=DF：DA=1：2，
而点G与点P不重合，否则与与原题矛盾，
所以EG=2DG错误；

③∵△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB，故本小题正确；

④∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．

则△CBM≌△CDN，（AAS）
∴S_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}．
S_{四边形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=

1

2

CG，CM=

3

2

CG，
∴S_{四边形CMGN}=2S_△CMG=2×

1

2

×

1

2

CG×

3

2

CG=

3

4

CG²，故本小题正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．

点评：此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．