Question

如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是以AP为腰的等腰三角形时，求m的值．

Answer 1

考点：待定系数法求一次函数解析式,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）证明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可证明DB=2-m，AD=4-m，从而求解；
（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三种情况，根据勾股定理即可求解．

解答：解：（1）由题意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB=PC，
∴DB=2-m，AD=4-m，
∴点D的坐标为（-2，4-m）．

（2）分三种情况
①若AP=AD，则4+m²=（4-m）²，解得m=

3

2

；
②若PD=PA
过P作PF⊥AB于点F（如图），
则AF=FD=

1

2

AD=

1

2

（4-m）
又∵OP=AF，
∴m=

1

2

（4-m）则m=

4

3

③若PD=DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM=

1

2

PD=

1

2

AD=

1

2

（4-m），
∵PC²+CM²=PM²，
∴（2-m）²+1=

1

4

（4-m）²，
解得m₁=

2

3

，m₂=2（舍去）．
综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为

3

2

或

4

3

或

2

3

．

点评：此题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，以及分类讨论思想的渗透．