【题目】如图,在中,点是的中点,点是线段的延长线上的一动点,连接,过点作的平行线,与线段的延长线交于点,连接、.
求证:四边形是平行四边形.
若,,则在点的运动过程中:
①当________时,四边形是矩形,试说明理由;
②当________时,四边形是菱形.
【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、①、2;②、4.
【解析】
(1)、首先证明△BEF和△DCF全等,从而得出DC=BE,结合DC和AB平行得出平行四边形;(2)、①、根据矩形得出∠CEB=90°,结合∠ABC=120°得出∠CBE=60°,根据直角三角形的性质得出答案;②、根据菱形的性质以及∠ABC=120°得出△CBE是等边三角形,从而得出答案.
(1)、证明:∵AB∥CD,∴∠CDF=∠FEB,∠DCF=∠EBF,∵点F是BC的中点,
∴BF=CF,在△DCF和△EBF中,∠CDF=∠FEB,∠DCF=∠EBF,FC=BF,
∴△EBF≌△DCF(AAS), ∴DC=BE, ∴四边形BECD是平行四边形;
(2)、①BE=2;∵当四边形BECD是矩形时,∠CEB=90°,∵∠ABC=120°,∴∠CBE=60°;
∴∠ECB=30°,∴BE=BC=2,
②BE=4,∵四边形BECD是菱形时,BE=EC,∵∠ABC=120°,∴∠CBE=60°,
∴△CBE是等边三角形,∴BE=BC=4.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,以顶点A为圆心,AD长为半径,在AB边上截取AE=AD,用尺规作图法作出∠BAD的角平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是_________________.
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【题目】为准备母亲节礼物,同学们委托小明用其支付宝余额团购鲜花或礼盒.每束鲜花的售价相同,每份礼盒的售价也相同.若团购15束鲜花和18份礼盒,余额差80元;若团购18束鲜花和15份礼盒,余额剩70元.若团购19束鲜花和14份礼盒,则支付宝余额剩_______元.
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【题目】将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶
点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图(3),
则三角板的最大边的长为( )
A. B. C. D.
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【题目】阅读下列材料:
如图1,⊙O1和⊙O2外切于点C,AB是⊙O1和⊙O2外公切线,A、B为切点,
求证:AC⊥BC
证明:过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D,
∵DA、DC是⊙O1的切线
∴DA=DC.
∴∠DAC=∠DCA.
同理∠DCB=∠DBC.
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°.
即AC⊥BC.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理?请写出两个定理的名称或内容;
(2)以AB所在直线为x轴,过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图2),已知A、B两点的坐标为(﹣4,0),(1,0),求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的函数解析式;
(3)根据(2)中所确定的抛物线,试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2上,并说明理由.
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【题目】如图,正方形网格中每个小正方形边长都是1.
(1)画出△ABC关于直线1对称的图形△A1BlCl;
(2)在直线l上找一点P,使PB=PC;(要求在直线1上标出点P的位置)
(3)连接PA、PC,计算四边形PABC的面积.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,AD的中点,
且∠ABM=∠BAM,连接BM,MN,BN.
(1)求证:BM=MN;
(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.
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【题目】平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点, 如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是( )
A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2
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