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【题目】如图,在中,点的中点,点是线段的延长线上的一动点,连接,过点的平行线,与线段的延长线交于点,连接

求证:四边形是平行四边形.

,则在点的运动过程中:

①当________时,四边形是矩形,试说明理由;

②当________时,四边形是菱形.

【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、①、2;②、4.

【解析】

(1)、首先证明△BEF和△DCF全等,从而得出DC=BE,结合DCAB平行得出平行四边形;(2)、①、根据矩形得出∠CEB=90°,结合∠ABC=120°得出∠CBE=60°,根据直角三角形的性质得出答案;②、根据菱形的性质以及∠ABC=120°得出△CBE是等边三角形,从而得出答案.

(1)、证明:∵AB∥CD,∴∠CDF=∠FEB,∠DCF=∠EBF,∵点FBC的中点,

∴BF=CF,在△DCF和△EBF中,∠CDF=∠FEB,∠DCF=∠EBF,FC=BF,

∴△EBF≌△DCF(AAS), ∴DC=BE, ∴四边形BECD是平行四边形;

(2)、①BE=2;∵当四边形BECD是矩形时,∠CEB=90°,∵∠ABC=120°,∴∠CBE=60°;

∴∠ECB=30°,∴BE=BC=2,

②BE=4,∵四边形BECD是菱形时,BE=EC,∵∠ABC=120°,∴∠CBE=60°,

∴△CBE是等边三角形,∴BE=BC=4.

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求证:AC⊥BC

证明:过点C⊙O1⊙O2的内公切线交ABD,

∵DA、DC⊙O1的切线

∴DA=DC.

∴∠DAC=∠DCA.

同理∠DCB=∠DBC.

∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,

∴∠DCA+∠DCB=90°.

AC⊥BC.

根据上述材料,解答下列问题:

(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理?请写出两个定理的名称或内容;

(2)以AB所在直线为x轴,过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图2),已知A、B两点的坐标为(﹣4,0),(1,0),求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的函数解析式;

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