Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，-$\frac{8}{3}$）是抛物线上另一点．
（1）求a、b的值；
（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；
（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2）在y=ax²+bx-2中，当x=0时．y=-2，得到OC=2，如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，①当PA=CA时，则OP₁=OC=2，②当PC=CA=$\sqrt{13}$时，③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，根据相似三角形的性质得到P₃（0，$\frac{5}{4}$），④当PC=CA=$\sqrt{13}$时，于是得到结论；
（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，根据平行线分线段成比例定理得到OM=$\frac{2t}{3}$，求得抛物线的对称轴为直线x=$\frac{-\frac{1}{5}}{2×\frac{5}{3}}$=$\frac{13}{10}$，得到OG=$\frac{13}{10}$，求得GN=t-$\frac{13}{10}$，根据相似三角形的性质得到HG=$\frac{2}{3}$t-$\frac{13}{15}$，于是得到结论．

解答 解：（1）把A（3，0），且M（1，-$\frac{8}{3}$）代入y=ax²+bx-2得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b-2=0}\\{a+b-2=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$；
（2）在y=ax²+bx-2中，当x=0时．y=-2，
∴C（0，-2），
∴OC=2，
如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
①当PA=CA时，则OP₁=OC=2，
∴P₁（0，2）；
②当PC=CA=$\sqrt{13}$时，即m+2=$\sqrt{13}$，∴m=$\sqrt{13}$-2，
∴P₂（0，$\sqrt{13}$-2）；
③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，
则△AOC∽△P₃EC，
∴$\frac{\sqrt{13}}{{P}_{3}C}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{13}}{2}}$，
∴P₃C=$\frac{13}{4}$，
∴m=$\frac{5}{4}$，
∴P₃（0，$\frac{5}{4}$），
④当PC=CA=$\sqrt{13}$时，m=-2-$\sqrt{13}$，
∴P₄（0，-2-$\sqrt{13}$），
综上所述，P点的坐标₁（0，2）或（0，$\sqrt{13}$-2）或（0，$\frac{5}{4}$）或（0，-2-$\sqrt{13}$）；
（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，
∵NH∥AC，
∴$\frac{OM}{OC}=\frac{ON}{OA}$，
∴$\frac{OM}{2}=\frac{t}{3}$，
∴OM=$\frac{2t}{3}$，
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-\frac{4}{3}}{2×\frac{2}{3}}$=1，
∴OG=1，
①当0＜t≤1时，∴GN=1-t，
∵GH∥OC，
∴△NGH∽△NOM，
∴$\frac{HG}{OM}=\frac{GN}{ON}$，
即$\frac{HG}{\frac{2}{3}t}$=$\frac{1-t}{t}$，
∴HG=-$\frac{2}{3}$t+$\frac{2}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ON•GH=$\frac{1}{2}$t（-$\frac{2}{3}$t+$\frac{2}{3}$）=-$\frac{1}{3}$t²⁺$\frac{1}{3}$t（0＜t≤1）．
②当1＜t＜3时，
∴GN=t-1，
∵GH∥OC，
∴△NGH∽△NOM，
∴$\frac{HG}{OM}=\frac{GN}{ON}$，
即$\frac{HG}{\frac{2}{3}t}$=$\frac{t-1}{t}$，
∴HG=$\frac{2}{3}$t-$\frac{2}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ON•GH=$\frac{1}{2}$t（$\frac{2}{3}$t-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{3}$t²-$\frac{1}{3}$t（1＜t＜3）．

点评 本题考查了待定系数法求得函数的系数，相似三角形的，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握的作出辅助线是解题的关键．