Question

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，⊙O经过A、D两点且圆心O在AB上．求证：BC为⊙O的切线．

Answer 1

证明：连接OD，如右图所示，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
又∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
分析：先连接OD，由于OA=OD，易得∠OAD=∠ODA，而AD是∠BAC的角平分线，那么∠BAD=∠CAD，等量代换可得∠ODA=∠CAD，利用内错角相等两直线平行可得OD∥AC，而∠C=90°，于是∠ODB=∠C=90°，从而可得OD⊥BC，即BC是⊙O的切线．
点评：本题考查了切线的判定、角平分线的定义、平行线的判定和性质．解题的关键是连接OD，并证明OD∥AC．