Question

已知：在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q。

（1）求四边形AQMP的周长。

（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）。

（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由。

Answer 1

解：（1）∵PM//AB，QM//AC

   ∴四边形AQMP为平行四边形且∠1=∠2，∠2=∠B

又∵AB=AC=a

∴∠B=∠C          ∴∠1=∠B=∠C=∠2

∴ QB=QM, PM=PC

∴四边形AQMP的周长为： AQ+QM+MP+PA=AQ+QB+PC+PA=AB+AC=2a

(2) △ABC∽△QBM∽△PMC(三对中写出任意两对即可)

（3）当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形

     当M为BC中点时

    ∵PM//AB, QM//AC

∴  

    ∴PM=QM

由（1）知：四边形AQMP为平行四边形

∴四边形AQMP为菱形