Question

图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₇A₈=1．
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
（

1

）²+1=2，S₁=

1

2

；（

2

）²+1=3，S₂=

2

2

；（

3

）²+1=4，S₃=

3

2

；…
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA₁₀的长；
（2）求出S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值．

Answer 1

分析：解答此题要熟悉勾股定理，根据定理求出OA₁、OA₂、OA₃、OA₄、OA₅…OA_n的值，得出规律，进一步得出面积的变化规律．

解答：解：（1）根据勾股定理，OA₂₌

1 2+1

=

2

，OA₃=

3

，
OA₄=2，…，OA₁₀=

10

，OA_n=

( n )2+1

=

n

．
S₁=

1

2

；S₂=

2

2

；S₃=

3

2

；…；S₁₀=

10

2

；S_n=

n

2

；

（2）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²=(

1

2

)2+(

2

2

)2+(

3

2

)2+…+(

10

2

)2=

1+2+3+…+9+10

4

=

55

4

．

点评：此题是一道规律探索题，首先进行具体数的计算，根据数字找出规律，得出一般性规律．