Question

如图12，y关于x的二次函数y=－(x+m)(x－3m)图象的顶点为M,图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点D.以AB为直径作圆，圆心为点C，定点E的坐标为（－3，0），连接ED.（m>0）

(1)写出A、B、D三点的坐标；

图12

（2）当m为何值时，点Ｍ在直线ＥＤ上？判定此时直线ED与圆的位置关系；

（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在直角坐标系中画出S关于m的函数图象示意图.

Answer 1

解：(1)令y=0,则－(x+m)(x－3m)=0,解得x₁=－m，x₂=3m.

∵m>0,∴A(－m,0)，B(3m,0).

令x=0,则y=m,即D(0, m).

(2)设直线ED的解析式为y=kx+b,将点E(－3,0)、D（0，m）的坐标代入解析式中，得

解得

∴直线ED的解析式为y=

∵y=－(x+m)(x－3m)=－(x－m)²+m,

∴顶点M的坐标为.

把代入y=得m²=m,解得m=0或m=1.

∵m>0,∴m=1.

∴当m=1时,点M在直线ED上.

连接CD,点C为AB的中点,坐标为C(m,0),即(1,0).

∵OD=,OC=1,

∴CD=2,点D在圆上.

又∵OE=3,OE²+OD²=ED²=12,

EC²=16,CD²=4，

∴CD²+DE²=EC².

∴∠EDC=90°,∴直线ED与⊙C相切.

答图3

(3)S_△AED=m·｜3－m｜.

当0<m<3时,S_△AED=AE·OD=m（3－m），即S= －m²+m.

当m>3时,S_△AED=AE·OD=m（m－3），即S=m²－m.

图象示意图如答图3中的实线部分.