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【题目】如图,在四边形ABCD中,ADBC,A=C,点P在边AB上.

(1)判断四边形ABCD的形状并加以证明;

(2)若AB=AD,以过点P的直线为轴,将四边形ABCD折叠,使点B、C分别落在点B′、C′上,且B′C′经过点D,折痕与四边形的另一交点为Q.

①在图2中作出四边形PB′C′Q(保留作图痕迹,不必说明作法和理由);

②如果C=60°,那么为何值时,B′PAB.

【答案】(1) 四边形ABCD是平行四边形,理由见解析;(2)图见解析;=

【解析】

试题分析:(1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断;(2)①根据轴对称的性质进行作图即可;②先根据折叠得出一些对应边相等,对应角相等,并推导出B′D=B′E,再设AP=a,BP=b,利用解直角三角形将DQ和CQ长用含a的代数式表示出来,最后根据CD=DQ+CQ列出关于a、b的关系式,求得a、b的比值即可.

试题解析:(1)四边形ABCD是平行四边形

证明:在四边形ABCD中,ADBC,

∴∠A+B=180°,

∵∠A=C,

∴∠C+B=180°,

ABCD,

四边形ABCD是平行四边形;

(2)①作图如下:

②当AB=AD时,平行四边形ABCD是菱形,

由折叠可得,BP=B′P,CQ=C′Q,BC=B′C′,C=C′=60°=A,

当B′PAB时,由B′PC′Q,可得C′QCD,

∴∠PEA=30°=DEB′,QDC′=30°=B′DE,

B′D=B′E,

设AP=a,BP=b,则直角三角形APE中,PE=a,且B′P=b,BC=B′C′=CD=a+b,

B′E=b﹣a=B′D,

C′D=a+b﹣(b﹣a)=a+a,

直角三角形C′QD中,C′Q=a=CQ,DQ=C′Q=a,

CD=DQ+CQ=a+b,

a+a=a+b,

整理得(+1)a=b,

==,即=

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