Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）点C的坐标是

 

；
（2）求抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）的解析式；
（3）若点P在抛物线上，且点P与△ABC的两个顶点所构成的三角形面积S=S_△ABC，请求出满足条件的所有点P的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）因为点C的横坐标等于零，且点C位于抛物线上，所以令y=0，则求得点C的纵坐标；
（2）将A（1，0）、B（4，0）点坐标代入抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）中，列方程组求a、b的值即可；
（3）所求的P的纵坐标与点C的纵坐标的绝对值相等，所以把相应的y值代入函数解析式来求x的值．

解答：解：（1）如图，∵点C在抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）上，
∴当x=0时，y=2，
∴C（0，2）；
故答案是：（0，2）；

（2）A（1，0）、B（4，0）两点代入y=ax²+bx+2，得

a+b+2=0 16a+4b+2=0

，
解得

a= 1 2 b=- 5 2

．
则该抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（3）情况一：当S_△PAB=S_△ABC时．点P是平行于x轴且到x轴的距离为2的直线与抛物线的交点．如图1所示．
∵C（0，2），S=S_△ABC，
∴设P（x，2）或（x，-2）．
①当点P的坐标是（x，2）时，2=

1

2

x²-

5

2

x+2
解得 x=0或x=5．
则点P的坐标是（0，2）（与点C重合）或（5，2）；
②当点P的坐标是（x，-2）时，-2=

1

2

x²-

5

2

x+2，
∵△＜0，
∴该方程无解，即不存在这样的点P．
情况二：当S_△PBC=S_△ABC时．点P是平行于BC且到BC的距离为点A到BC的距离的直线与抛物线的交点．如图2所示．
易求符合条件的点P的坐标为：（1，0），（3，-1），（2+

7

，

5- 7

2

），（2-

7

，

5+ 7

2

）；
情况三：当S_△PAC=S_△ABC时．点P是平行于AC且到AC的距离为点B到AC的距离的直线与抛物线的交点．过点B与AC平行的直线解析式为y=-2x+8，与抛物线联立方程组可求得两根分别为4和-3，此时两点坐标分别为（4，0）（-3，14）
此时当点P与点B重合时，符合题意．
综上所述，符合条件的点P的坐标是：（0，2）或（5，2）或（1，0），（（3，-1）或（2+

7

，

5- 7

2

）或
（2-

7

，

5+ 7

2

）或（4，0）或（-3，14）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式．解答（3）题时，要分类讨论．