Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，
（1）求抛物线的解析式；
（2）求P在第一象限的抛物线上，P点的横坐标为t，过点P向x轴做垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值；
（3）在（2）的条件下，抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，连接BD，在抛物线是否存在点E（不与点A，B，C重合）使得∠DBE=45°？若不存在．请说明理由；若存在请求E点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解关于b、c的方程组求出b、c的值即可得到抛物线解析式，令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点C的坐标；
（2）根据抛物线的解析式y=-x²+3x+4，令y=0求得点B的坐标为（4.0），设直线BC的解析式为y=kx+a
把点B、C的坐标代入直线BC的解析式为y=kx+a，解关于k、a的方程组求出k、a的值，所以直线BC的解析式为y=-x+4，设P点的坐标为（t，-t²+3t+4），则Q点的坐标为（t，-t+4），所以m=（-t²+3t+4）-（-t+4），整理得m=-（t-2）²+4，根据关于m、t的二次函数即可求得．
（3）根据m的最大值是4，代入y=-x²+3x+4，可求得D点的坐标（3，4），过D点作DH⊥BC，过E点作EF⊥x轴，由OC=OB=4得△DCB为等腰直角三角形，从而得出△CDH为等腰直角三角形，通过等腰直角三角形求得CN、BH的值，然后根据三角形相似求得EF、BF的关系，设出E点的坐标，然后代入y=-x²+3x+4即可求得．

解答：解：（1）抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0）、C（0，4）两点，
∴

-1-b+c=0 c=4

解得

b=3 c=4

∴抛物线的解析式y=-x²+3x+4

（2）令-x²+3x+4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0）
设直线BC的解析式为y=kx+a
∴

4k+a=0 a=4

解得

k=-1 a=4

，
∴直线BC的解析式为y=-x+4
设P点的坐标为（t，-t²+3t+4），则Q点的坐标为（t，-t+4）
∴m=（-t²+3t+4）-（-t+4）=-（t-2）²+4
整理得m=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，m的最大值为4

（3）存在
∵抛物线一点D的纵坐标为m的最大值4，
∴-x²+3x+4=4，解得x₁=0（舍），x₂=3
∴D（3，4），CD=3
∵C（0，4），
∴CD∥x轴，
∵OC=OB=4，
∴△BOC为直角三角形，
过点D作DH⊥BC于H，过点E作EF⊥x于点F，在△CDB中，CD=3，∠DCB=45°
∴CH=DH=

3 2

2

，
∵CB=4

2

，∴BH=CB-CH=

5 2

2

∵∠DBE=∠CBO=45°
∴∠DBE-∠CBE=∠CBO-∠CBE，
即∠DBC=∠EBF
∴tan∠DBC=

DH

HB

=

EF

BF

=

3

5

设EF=3a∴BF=5a
∴OF=5a-4
∴F（4-5a，0），E（4-5a，3a）
∵点E在抛物线上
∴3a=-（4-5a）²+3（4-5a）+4
解得a₁=0 a₂=

22

25

∴E（-

2

5

，

66

25

）．

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要应用了待定系数法求函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，以及三角函数的问题．