Question

已知某种高新技术设备的生产成本不高于50万元/套，售价不低于90万元/套，已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y₁（万元）之间满足关系式y₁=170-2x，月产量x（套）与生产总成本y₂（万元）存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出y₂与x之间的函数关系式，并求月产量x的取值范围；
（2）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）设函数关系式为y₂=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；根据题中条件“每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元”列出不等式组求解月产量x的范围；
（2）根据等量关系“设备的利润=每台的售价×月产量-生产总成本”列出函数关系式求得最大值．

解答：解：（1）设函数关系式为y₂=kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，

30k+b=1400 40k+b=1700

解得：

k=30 b=500

，
∴函数关系式y₂=30x+500；
依题意得：

500+30x≤50x 170-2x≥90

，
解得：25≤x≤40；

（2）∵W=x•y₁-y₂=x（170-2x）-（500+30x）=-2x²+140x-500
∴W=-2（x-35）²+1950
∵25＜35＜40，
∴当x=35时，W_最大=1950．
答：当月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．

点评：本题考查了二次函数的应用及待定系数法求函数解析式，难点在第二问，要求我们熟练运用配方法求二次函数的最值，另外要结合实际，考虑是否能取到最小．