Question

如图①有两块大小不同的等腰直角三角板△ABC和△DCE，连接AD，BE，则：
（1）AD和BE的关系是

 

（位置关系和数量关系）；
（2）如图②，若△DCE绕点C顺时针旋转90°，（1）中的结论是否成立

 

；
（3）若△DCE绕点C顺时针旋转，①当0°＜α＜90°时，②当90°＜α＜180°时，分别画出两种情况下的图形，（1）中结论是否改变

 

，选择一种情况加以证明．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据等腰三角形性质推出∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，根据SAS证明两三角形全等即可；根据全等推出∠DAC=∠EBC，求出∠DAC+∠ADC=90°，推出∠CBE+∠BDF=90°，求出∠BFD=90°即可．
（2）根据等腰直角三角形的性质，等量代换即可证得．
（3）画出图形，结合图形证明三角形全等证得．

解答：答（1）相等且垂直．
证明：延长AD交BE于F，
∵等腰直角三角形ACB和△DCE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，
在△ADC和△BEC中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=CE

∴△ADC≌△BEC（SAS）．
∴AD=BE
由（1）知：△ADC≌△BEC，
∴∠DAC=∠EBC，
∵∠ACD=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，
∵∠BDF=∠ADC，
∴∠EBC+∠BDF=90°，
∴∠BFD=180°-（∠EBC+∠BDF）=90°，
∴AD⊥BE．
（2）成立．
证明：∵等腰直角三角形ACB和△DCE，
∴BC=AC  CD=CE
根据旋转的性质得
∠BCD=90°
∴AD⊥BE
∴BC+CE=AC+CD
即AD=BE
∴AD和BE垂直且相等仍然成立．
（3）①不变，如图：
连接BE和AD
在△BCE和△ACD中，
∵BC=AC，∠BCE=90°+α，∠ACD=90°+α，
∴∠ACD=∠BCE
CE=CD，
∴△BCE≌△ACD
∴BE=AD，∠1=∠2
∵∠1+∠AGC=90°
∴∠2+∠AGC=90°，
∴∠AFG=90°．
即BE⊥AD．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．熟练运用旋转的性质，全等三角形的判断与性质，锐角三角函数值等知识点进行解答即可