Question

在等腰直角△ABC、△CDE中，∠A=∠E=90°，点D在边BC的延长线上，BC=4，CD=2，线段AE的长为

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰直角三角形

专题：分类讨论

分析：分两种情况讨论：①点A、C、E三点共线时，AE=AC+CE；②点A、C、E三点不共线时，AE=

AC2+CE2

．

解答：解：在等腰直角△ABC中，∵∠A=90°，BC=4，
∴∠B=∠ACB=45°，AC=BC•sin45°=2

2

．
在等腰直角△CDE中，∵∠E=90°，CD=2，
∴∠D=∠DCE=45°，CE=CD•sin45°=

2

．
分两种情况：
①点A、C、E三点共线时，如图1．
AE=AC+CE=2

2

+

2

=3

2

；
②点A、C、E三点不共线时，如图2．
∵点D在边BC的延长线上，
∴∠DCB=180°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCE=180°-45°-45°=90°．
连结AE．
在Rt△ACE中，∵∠ACE=90°，
∴AE=

AC2+CE2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

．
综上可知，线段AE的长为3

2

或

10

．
故答案为3

2

或

10

．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，难度适中．分类讨论是解题的关键．