Question

1．如图，平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，B为AO的中点，DC⊥DB交x轴于点C，E在y轴上，且OC=OE，经过B、E、C三点的抛物线与直线AD交于F、G两点，与其对称轴交于M点
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，求出满足条件的点P的坐标；
（3）N是抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点H，使以C，D，N，H为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件可以求出点B、E、C的坐标，然后利用待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式．
（2）易知△AOD是等腰Rt△，若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，那么△PQM也必须是等腰Rt△；由于∠QPM≠90°，因此本题分两种情况：①PQ为斜边，M为直角顶点；②PM为斜边，Q为直角顶点；
首先求出直线AD的解析式，进而可得到M点的坐标；设出P点横坐标，然后根据抛物线和直线AD的解析式表示出P、Q的纵坐标，即可得到PQ的长；在①中，PQ的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍；在②中，PQ的长正好等于M、P横坐标差的绝对值，由此可求出符合条件的P点坐标．
（3）需要分类讨论：当CD为边和当CD为对角线两种情况，利用“平行四边形的对边平行且相等”的性质和点的坐标与图形的性质求得符合条件的点H的坐标．

解答 解：（1）在y=x+2中，令x=0，y=0，于是得到A（-2，0），D（0，2），
∴B（-1，0），
∵BD⊥CD，
∴OD²=OB•OC，
∴C（4，0），E（0，4），设函数解析式为y=a（x+1）（x-4），
∴a×1×（-4）=4，解得a=-1，
∴经过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4；

（2）∵A（-2，0），D（0，2）；
所以直线AD：y=x+2；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得F（1-$\sqrt{3}$，3-$\sqrt{3}$），G（1+$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$）；
设P点坐标为（x，x+2）（1-$\sqrt{3}$＜x＜1+$\sqrt{3}$），则Q（x，-x²+3x+4）；
∴PQ=-x²+3x+4-x-2=-x²+2x+2；
由条件容易求得M（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$），
若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形；
①以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|x_M-x_P|，
即：-x²+2x+2=2（$\frac{3}{2}$-x），
解得x=2-$\sqrt{3}$，x=2+$\sqrt{3}$（不合题意舍去）
∴P（2-$\sqrt{3}$，4-$\sqrt{3}$）；
②以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|x_M-x_Q|，
即：-x²+2x+2=$\frac{3}{2}$-x，
解得x=$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$，x=$\frac{3+\sqrt{11}}{2}$（不合题意舍去）
∴P（$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$，$\frac{7-\sqrt{11}}{2}$）
故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2-$\sqrt{3}$，4-$\sqrt{3}$）或（$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$，$\frac{7-\sqrt{11}}{2}$）；

（3）当CD为边时，NH∥CD，NH=CD，
∴x_N-x_H=±4，
∴x_N=$\frac{11}{2}$或x_N=-$\frac{5}{2}$．
代入y=-x²+3x+4得y_N=-$\frac{31}{4}$，而y_N-y_H=±2，
∴y_H=-$\frac{31}{4}$或y_H=-$\frac{47}{4}$，
∴H（$\frac{3}{2}$，-$\frac{31}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{47}{4}$）；
若CD为对角线，ND∥CH，ND=CH．
x_N-x_D=$\frac{5}{2}$
∴x_N=$\frac{5}{2}$．
代入y=-x²+3x+4得y_N=$\frac{21}{4}$，而y_C-y_H=y_N-y_D=$\frac{13}{4}$，
∴y_H=-$\frac{13}{4}$，
∴H（$\frac{3}{2}$，-$\frac{13}{4}$）．
综上所述，共有3个点H满足条件，即（$\frac{3}{2}$，-$\frac{31}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{47}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{13}{4}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，同时还考查了分类讨论的数学思想．