Question

如图，在△ABC中∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的三边，交点分别是G，F，E点，GE，CD的交点为M，且ME=4，MD∶CO=2∶5。

（1）求证：∠GEF=∠A；
（2）求⊙O的直径CD的长；
（3）若cos∠B=0.6，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为X轴和Y轴，建立平面直角坐标系，求直线AB的函数表达式。

Answer 1

解：连接DF， ∵CD是圆的直径， ∴∠CFD=90°，即DF⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∴DF∥AC， ∴∠BDF=∠A， ∵在⊙O中∠BDF=∠GEF， ∴∠GEF=∠A； （2）∵D是Rt△ABC斜边AB的中点， ∴DC=DA， ∴∠DCA=∠A， 又由（1）知∠GEF=∠A，∴∠DCA=∠GEF， ∴∠OME=∠EMC， ∴△OME与△EMC相似， ∴， ∴， 又∵ME=， ∴， ∵， ∴， ∴， 设OM=3x，MC=8x， ∴3x×8x=96， ∴x=2， ∴直径CD=10x=20； （3）∵Rt△ABC斜边上中线CD=20， ∴AB=40， ∵在Rt△ABC中cos∠B=0.6=， ∴BC=24， ∴AC=32， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 根据题意得A（32，0），B（0，24）， ∴，解得， ∴直线AB的函数解析式为。