Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．

（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是APQM面积的 时，求APQM面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），C（0，3），

∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，

∴D（2，3），

∴直线AD的解析式为：y=x+1

（2）

解：设点F（x，﹣x2+2x+3），

∵FH∥x轴，

∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），

∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴FH的最大值为 ，

由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，

∵FH∥AB，

∴∠FHG=∠DAB=45°，

∴FG=GH= × =

故△FGH周长的最大值为 ×2+ =

（3）

解：①当P点在AM下方时，如图1，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），

∵△PM Q′与APQM重合部分的面积是APQM面积的 ，

∴PQ′必过AM中点N（0，2），

∴可知Q′在y轴上，

易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，

故T（1，4），从而T、M重合，

∴APQM是矩形，

∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，

∵MQ⊥AM，

∴直线QQ′：y=﹣ x+ ，

∴4+p=﹣ ×2+ ，

解得：p=﹣ ，

∴PN= ，

∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4× ×PN×AO=4× × ×1=5；

②当P点在AM上方时，如图2，

设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），

∵△PM Q′与APQM重合部分的面积是APQM面积的 ，

∴PQ′必过QM中点R（ ，4+ ），

易得直线QQ′：y=﹣ x+p+5，

联立 ，

解得：x= ，y= ，

∴H（ ， ），

∵H为QQ′中点，

故易得Q′（ ， ），

由P（0，p）、R（ ，4+ ）易得直线PR解析式为：y=（ ﹣ ）x+p，

将Q′（ ， ）代入到y=（ ﹣ ）x+p得： =（ ﹣ ）× +p，

整理得：p2﹣9p+14=0，

解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），

∴P（0，7），

∴PN=5，

∴S□APQM=2S△AMP=2× ×PN×|xM﹣xA|=2× ×5×2=10．

综上所述，APQM面积为5或10．

【解析】（1）根据抛物线解析式求得点A、B、C点坐标，由点D，C关于抛物线的对称轴对称得点D坐标，继而利用待定系数法求解可得；（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），根据FH∥x轴及直线AD的解析式y=x1可得点H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），继而表示出FH的长度，根据二次函数的性质可得FH的最值情况，易得△FGH为等腰直角三角形，从而可得其周长的最大值；（3）设P（0，p），根据平行四边形性质及点M坐标可得Q（2，4+p），分P点在AM下方与P点在AM上方两种情况，根据重合部分的面积关系及对称性求得点P的坐标后即可得APQM面积．
【考点精析】利用二次函数的概念和二次函数的图象对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．