Question

10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=16cm，BD=12cm，DH⊥BC于点H，交AC于点G．
（1）写出两个不全等且与△GHC相似的三角形，并任选其中的一个进行证明；
（2）求GH的长．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质以及相似三角形的判定方法即可得到和GHC相似的三角形；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得DH的长，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．

解答 解：（1）△BOC∽△GHC，△GDO∽△GHC，
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥CD，
∴∠DOG=90°，
∵DH⊥BC于点H，
∴∠GHC=90°，
∵∠DGO=∠CGH，
∴△GDO∽△GHC；
（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC=24cm，BD=18cm，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×16=8，OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×12=6cm，
在Rt△AOB中，AB=10cm，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=AB•DH，
即$\frac{1}{2}$×16×12=10•DH，
解得DH=9.6（cm）．
在Rt△DHB中，BH═7.2cm，
则AH=AB-BH=10-7.2=2.8（cm），
∵tan∠HAG=$\frac{GH}{AH}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{3}{4}$，
∴GH=$\frac{3}{4}$AH=2.1（cm）．

点评 本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．