Question

【题目】如图，的直径，点为的延长线上一点，直线切于点，过点作，垂足为交于点，连接 ．

（1）求证：平分；

（2）求的长；

（3）是上的一动点，交于点，连接．是否存在点，使得？如果存在，请证明你的结论，并求的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，；证明见解析；（3）．

【解析】

（1）连接OD易证OD∥BH，则∠ODB＝∠DBH，然后根据等边对等角证明∠ODB＝∠OBD，即可得证；

（2）证明四边形ODHG是矩形，得出OD＝GH＝5，DH＝OG＝4，BH＝BG+GH＝8，证明△POD∽△PBH，得出，即可得出答案；

（3）当点E为AB弧的中点时，△ADE∽△FDB；则，由圆周角定理得出∠ADE＝∠EDB，∠AED＝∠ABD，证出△ADE∽△FDB，由弧长公式求出弧AE的长即可．

（1）证明：连接OD． 如图1所示：

∵PD是⊙O的切线，

∴OD⊥PD．

又∵BH⊥PD，

∴∠PDO＝∠PHB＝90°，

∴OD∥BH，

∴∠ODB＝∠DBH．

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠OBD＝∠DBH，

∴BD平分∠ABH．

（2）解：过点O作OG⊥BC，G为垂足，如图2所示：

则BG＝CG＝BC＝3，

在Rt△OBG中，OG＝＝4．

∵∠ODH＝∠DHG＝∠HGO＝90°，

∴四边形ODHG是矩形．

∴OD＝GH＝5，DH＝OG＝4，BH＝BG+GH＝3+5＝8．

∵OD∥BH，

∴△POD∽△PBH，

∴，即，

解得：PA＝；

（3）解：存在，当点E为AB弧的中点时，△ADE∽△FDB，理由如下：

连接OE，如图3所示：

∵E是的中点，

∴，

∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∠ADE＝∠EDB，

又∵∠AED＝∠ABD，

∴△ADE∽△FDB，

的长．