Question

1．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8．动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动的时间为t．
（1）BD=10，cos∠ADB=$\frac{4}{5}$（直接写出答案）
（2）当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM．
（3）在整个运动过程中，
①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形．
②圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值范围（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABD中，依据勾股定理可求得BD的长，然后依据锐角三角函数的定义可知：cos∠ADB=$\frac{AD}{BD}$故此可求得问题的答案；
（2）连接ME．由ED=AD-AE可求得DE的长，依据直径所对的圆周角等于90°可得到∠EMF=90°，于是可求得∠EMD=90°，然后依据锐角三角函数的定义可知MD=ED•cos∠MDE，故此可得到问题的答案；
（3）①可分为点E在AD上，点E在AD的延长线上画出图形，然后再依据MC=MD，CM=CD、DM=DC三种情况求解即可；②当t=0时，圆心O在AB边上．当圆心O在CD边上时，过点E作EH∥CD交BD的延长线与点H．先求得DH的长，然后依据平行线分线段成比例定理可得到DF=DH，然后依据DF=DH列出关于t的方程，从而可求得t的值，故此可得到t的取值范围．

解答 解：（1）∵ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°．
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=10．
cos∠ADB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．
故答案为：10；$\frac{4}{5}$．
（2）如图1所示：连接ME．

∵AE=t，AD=8，
∴ED=AD-AE=8-t．
∵EF为⊙O的直径，
∴∠EMF=90°．
∴∠EMD=90°．
∴MD=ED•cos∠MDE=$\frac{4（8-t）}{5}$．
（3）①如图2所示：连接MC．

当DM=CD=6时，$\frac{4（8-t）}{5}$=6，解得t=$\frac{1}{2}$；
如图3所示：当MC=MD时，连接MC，过点M作MN⊥CD，垂足为N．

∵MC=MD，MN⊥CD，
∴DN=NC．
∵MN⊥CD，BC⊥CD，
∴BC∥MN．
∴M为BD的中点．
∴MD=5，即$\frac{4（8-t）}{5}$=5，解得t=$\frac{7}{4}$；
如图4所示：CM=CD时，过点C作CG⊥DM．

∵CM=CD，CG⊥MD，
∴GD=$\frac{1}{2}$MD=$\frac{2（8-t）}{5}$．
∵$\frac{DG}{CD}=\frac{CD}{BD}$=$\frac{3}{5}$，
∴DG=$\frac{3}{5}$CD=$\frac{18}{5}$．
∴$\frac{2（8-t）}{5}$=$\frac{18}{5}$．
解得：t=-1（舍去）．
如图5所示：当CD=DM时，连接EM．

∵AE=t，AD=8，
∴DE=t-8．
∵EF为⊙O的直径，
∴EM⊥DM．
∴DM=ED•cos∠EDM=$\frac{4（t-8）}{5}$．
∴$\frac{4（t-8）}{5}$=6，解得：t=$\frac{31}{2}$．
综上所述，当t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{7}{4}$或t=$\frac{31}{2}$时，△DCM为等腰三角形．
②当t=0时，圆心O在AB边上．
如图6所示：当圆心O在CD边上时，过点E作EH∥CD交BD的延长线与点H．

∵HE∥CD，OF=OE，
∴DF=DH．
∵DH=$\frac{DE}{soc∠EDH}$=$\frac{5（t-8）}{4}$，DF=10-t，
∴$\frac{5（t-8）}{4}$=10-t．
解得：t=$\frac{80}{9}$．
综上所述，在整个运动过程中圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，t的取值范围为0≤t≤$\frac{80}{9}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理的推理、勾股定理、锐角三角函数的定义、等腰三角形的定义，分类讨论思想的应用以及根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．