Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，垂足是点D，E是BC上一点，CE=AF，
（1）探索△DEF是怎样的一个三角形，并进行证明．
（2）证明：S_{四边形CFDE}=S_△ABC．

Answer 1

（1）△DEF是等腰直角三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
又CD⊥AB，
∴CD是斜边AB上的中垂线，∠ACB的角平分线，
∴AD=CD=BD，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°；
在△AFD和△CED中，
，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DF=DE（全等三角形的对应边相等），∠ADF=∠CDE（全等三角形的对应角相等），
∴∠FDC+∠ADF=∠CDE+∠FDC，即∠ACD=∠EDF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）证明：由（1）知，△AFD≌△CED，
∴S_△AFD=S_△CED（全等三角形的面积相等）；
又∵S_{四边形CFDE}=S_△CFD+S_△CED，
∴S_{四边形CFDE}=S_△CFD+S_△AFD=S_△ACD；
∵△ABC是等腰直角三角形，CD是斜边AB上的中垂线，
∴S_△ACD=S_△ABC，
∴S_{四边形CFDE}=S_△ABC．
分析：（1）根据已知条件“∠ACB=90°，CA=CB”推知三角形ABC是等腰直角三角形；然后由“CD⊥AB”知CD是斜边AB上的中垂线，∠ACB的角平分线，所以接下来可以证明△AFD≌△CED（SAS）；所以DF=DE（全等三角形的对应边相等），∠ADF=∠CDE（全等三角形的对应角相等）；最后根据∠FDC+∠ADF=∠CDE+∠FDC推知∠ACD=∠EDF=90°，故三角形EDF是等腰直角三角形；
（2）利用（1）中的△AFD≌△CED（SAS）知，S_△AFD=S_△CED，所以S_{四边形CFDE}=S_△CFD+S_△AFD=S_△ACD=S_△ABC．
点评：本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质．熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．