Question

1．如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若该抛物线的顶点是点D，求四边形OCDB的面积．
（3）已知点P是该抛物线对称轴的一点，若以点P，O，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点P的坐标（不用说理）．

Answer 1

分析 （1）计算A、B的坐标时，令y=0；计算C的坐标时，令x=0；
（2）利用配方法求D的坐标，根据S_{四边形OCDB}=S_△OCD+S_△OBD代入即可；
（3）分三种情况讨论：①当OD=OP时，如图1，②当OD=DP时，如图2，③如图3，当OP=PD时，分别求P的坐标．

解答 解：（1）当y=0时，即-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$=0，
x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x=3或-1，
∴A（-1，0），B（3，0）；
当x=0时，y=$\frac{3}{4}$，
∴C（0，$\frac{3}{4}$）；
（2）如图1，y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，
∴D（1，1），
∴S_{四边形OCDB}=S_△OCD+S_△OBD=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×1+$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{15}{8}$；
（3）分三种情况：
①当OD=OP时，如图1，
P与D关于x轴对称，
∵D（1，1），
∴P（1，-1），
②当OD=DP时，如图2，
∵D（1，1），
∴OE=DE=1，
∴OD=$\sqrt{2}$，
∴PD=OD=$\sqrt{2}$，
∴P₁（1，1+$\sqrt{2}$），P₂（1，1-$\sqrt{2}$），
③如图3，∵D（1，1），
∴当P在x轴上时，OP=PD=1，
∴P（1，1）；
综上所述，点P的坐标为：（1，1）或（1，1+$\sqrt{2}$）或（1，1-$\sqrt{2}$）或（1，0）．

点评 本题考查了抛物线与两坐标轴的交点及等腰三角形的性质与判定，属于常题型，难度适中；对于第（3）问中等腰三角形的确定，要采用分类讨论的思想解决，同时利用数形结合的思想，注意不要丢解．