Question

2．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AB；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠DOE=60°，其中正确的结论数是（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 首先证明△ADC≌△BEC可得AD=BE；证明△CDP≌△CEQ可得CP=CQ，然后可得∠QPC=∠BCA，进而可证明PQ∥AE；根据全等三角形的性质可得DP=QE，AD=BE，进而可得AP=BQ；根据三角形大角对大边可得DE＞QE，进而可得DE＞DP；根据角之间的关系可得∠AOB=∠DCE=60°，再由对顶角相等可得∠DOE=60°．

解答 解：①∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ADC和△BEC中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE（故①正确）；

②∵∠BCA=∠∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵△ADC≌△BEC，
∴∠ADC=∠BEC，
在△CDP和△CEQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠DCP}\\{CD=CE}\\{∠CEQ=∠CDP}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正确）；

③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP=QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE，
∴AD-DP=BE-QE，
∴AP=BQ，（故③正确）；

④∵DE＞QE，且DP=QE，
∴DE＞DP，（故④错误）；

⑤∵∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，
∴∠DOE=60°，（故⑤正确）．
∴正确的有：①②③⑤．
故选：C．

点评 本题考查三角形综合，同学们要熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质；得到三角形全等是正确解答本题的关键．