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    13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l与AB边相交于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设∠AOD=α．解答下列问题：
    （1）①当α=60度时，四边形EDBC是直角梯形；
    ②当α=30度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
    （2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

    分析 （1）①如图1，由于∠A=30°，α=60°，则∠ADO=90°，再利用CE∥AB，所以∠CED=90°，于是可判断四边形EDBC是直角梯形；
    ②如图1，作DH⊥OA于H，由α=30°，则利用三角形外角性质得∠BDO=∠A+∠AOD=60°，然后可判断四边形EDBC是等腰梯形；再利用含30度的直角三角形三边的关系可得到AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，则AO=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，接着根据等腰三角形的性质得AH=OH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出DH=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，AD=2DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
    （2）先判断四边形BDEC为平行四边形，再证明△AOD≌△COE得到OE=OD，则DE=OD，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD=2OD，AB=2BC，接着证明BC=2OD，所以ED=AD=BD，于是可判断四边形EDBC为菱形．

    解答 解：（1）①当α=60°时，四边形EDBC是直角梯形．理由如下：
    如图1，
    ∵∠ACB=90°，∠B=60°，
    ∴∠A=30°，
    ∵α=60°，
    ∴∠ADO=90°，
    ∵CE∥AB，
    ∴∠CED=90°，
    ∴四边形EDBC是直角梯形；
    ②当α=30°时，四边形EDBC是等腰梯形．理由如下：
    如图1，作DH⊥OA于H，
    ∵α=30°，
    ∴∠BDO=∠A+∠AOD=30°+30°=60°，
    而CE∥BD，
    ∴四边形EDBC是等腰梯形；
    ∵∠ACB=90°，∠B=60°，
    ∴∠A=30°，
    ∴AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
    ∵点O是AC的中点，
    ∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
    ∵∠A=∠AOD，
    ∴AH=OH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
    在Rt△ADH中，DH=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
    AD=2DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
    故答案为60°；30°，$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
    （2）当α=90°时，四边形EDBC为菱形．理由如下：
    ∵∠ACB=∠AOD=90°，
    ∴DE∥BC，
    ∵CE∥BD，
    ∴四边形BDEC为平行四边形，
    在△AOD和△COE中
    $\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ECO}\\{OA=OC}\\{∠AOD=∠COD}\end{array}\right.$，
    ∴△AOD≌△COE，
    ∴OE=OD，
    ∴DE=OD，
    ∵∠A=30°，
    ∴AD=2OD，AB=2BC，
    ∵OD∥BC，OA=OC，
    ∴BC=2OD，
    ∴ED=AD=BD，
    ∴四边形EDBC为菱形．

    点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握直角梯形、等腰梯形和菱形的判定方法；能灵活运用全等三角形的知识解决线段线段的问题；记住含30度的直角三角形三边的关系．

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