Question

8．已知等边三角形ABC内接于圆O，D为直线AB上一点，若AB=6，S_△BCD=3$\sqrt{3}$，则OD的长为2或2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，进而利用等边三角形的性质以及结合勾股定理分别得出OD的长．

解答 解：如图所示：过点O作ON⊥AB，连接DO，
∵等边三角形ABC内接于圆O，AB=6，
∴△ABC的高为：3$\sqrt{3}$，则NO=$\frac{1}{3}$×3$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=9$\sqrt{3}$，
∵S_△BCD=3$\sqrt{3}$，
∴BD=$\frac{1}{3}$AB=2，
∵ON⊥AB，
∴BN=AN=3，
∴DN=1，
∴DO=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
当D点在△ABC的外面，可得DN=5，DO=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
故答案为：2或2$\sqrt{7}$．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理、三角形的外心等知识，正确分类讨论是解题关键．