Question

如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y=（x＞0）交于点B（2，1）．过点P（a，a-1）（a＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y=（x＞0）和y=-（x＜0）于点M、N．
（1）求m的值和直线l的解析式；
（2）若点P在直线y=2上，求证：△PMB∽△PNA．

Answer 1

解：（1）由点B（2，1）在y=上，有2=，即m=2．
设直线l的解析式为y=kx+b，
由点A（1，0），点B（2，1）在y=kx+b上，
得
解之，得，
∴所求直线l的解析式为y=x-1．
（2）∵点P（a，a-1）（a＞1）在直线y=2上，
∴P（3，2），
∴P在直线l上，是直线y=2和l的交点，
∴根据条件得各点坐标为N（-1，2），M（1，2），P（3，2）．
∴NP=3-（-1）=4，MP=3-1=2，
AP===2，BP==，
∴==2，
在△PMB和△PNA中，∠MPB=∠NPA，
∴△PMB∽△PNA．
分析：（1）将点B（2，1）代入y=，即可求出m的值，从而得到反比例函数的解析式；将点A（1，0），点B（2，1）分别代入y=kx+b，即可求出l的解析式；
（2）点P（a，a-1）（a＞1）在直线y=2上，即可得到a-1=2，从而求出a的值，得到P点坐标，作出直线MN，连接MB、NA，即可构造三角形△PMB和△PNA，然后根据对应线段成比例证出△PMB∽△PNA．
点评：本题考查了反比例函数综合题，学会待定系数法以及熟悉相似三角形的判定是解题的关键．