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如图,将一张长为1、宽为a的长方形纸片(
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<a<1)折一下,剪下一个边长等于宽度a的正方形(称为第一次操作);再将剩下的长方形如图折一下,再次剪下一个边长等于该长方形宽度的正方形(称为第二次操作)…如此反复操作下去,直到第n次操作后,剩下的小长方形为正方形时停止操作.当n=3时,a的值为
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分析:根据操作步骤,可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽.所以首先需要判断矩形相邻的两边中,哪一条边是矩形的宽.当
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<a<1时,矩形的长为1,宽为a,所以第一次操作时所得正方形的边长为a,剩下的矩形相邻的两边分别为1-a,a.由1-a<a可知,第二次操作时所得正方形的边长为1-a,剩下的矩形相邻的两边分别为1-a,a-(1-a)=2a-1.由于(1-a)-(2a-1)=2-3a,所以(1-a)与(2a-1)的大小关系不能确定,需要分情况进行讨论.又因为可以进行三次操作,故分两种情况:①1-a>2a-1;②1-a<2a-1.对于每一种情况,分别求出操作后剩下的矩形的两边,根据剩下的矩形为正方形,列出方程,求出a的值.
解答:解:如果1-a>2a-1,即a<
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,第二次操作剩余的矩形的长是:1-a,宽是a-(1-a)=2a-1;
第三次操作剩余的矩形的长是a-(1-a)=2a-1,宽是:(1-a)-(2a-1)=2-3a.
根据题意得:2a-1=2-3a.
解得:a=
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如果1-a<2a-1,即a>
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,那么第三次操作时正方形的边长为1-a.
则1-a=(2a-1)-(1-a),
解得a=
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故答案为
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点评:本题考查了矩形的折叠问题,正确表示出每次折叠以后剩余的矩形的长和宽是解题的关键.
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如图,将一张长为1、宽为的长方形纸片()折一下,剪下一个边长等于宽度的正方形(称为第一次操作);再将剩下的长方形如图折一下,再次剪下一个边长等于该长方形宽度的正方形(称为第二次操作)……如此反复操作下去,直到第次操作后,剩下的小长方形为正方形时停止操作.当时,的值为________.

 

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