Question

【题目】如图，在正方形中，点是对角线上一点，且，过点作交于点，连接．

（1）求证：；

（2）当时，求的值．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)4+4

【解析】

(1)连接CF,利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CEF,可得DF=EF,再根据等腰直角三角形可得EF=AF,所以得出DF=AE．

(2) 过点E作EH⊥AB于H,利用勾股定理求出AC,再求出AE,根据特殊直角三角形的边长比求出EH和AH,可得BH,再利用勾股定理求出BE2即可．

(1)连接CF,

∵∠D=∠CEF=90°,CD=CE,CF=CF,

∴Rt△CDF≌Rt△CEF(HL),

∴DF=EF,

∵AC为正方形ABCD的对角线,

∴∠CAD=45°,

∴△AEF为等腰直角三角形,

∴EF=AF,

∴DF=AE．

(2) ∵AB＝2+,

∴由勾股定理得AC＝2+2,

∵CE＝CD,

∴AE＝．

过点E作EH⊥AB于H,则△AEH是等腰直角三角形．

∴EH＝AH＝AE＝×＝1．
∴BH＝2+－1＝1+．

在Rt△BEH中,BE2＝BH2＋EH2＝(1+)2＋12＝4+4．