Question

8．已知：如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在直线AB、直线AC上，且AE=BD．
（1）当点D、E分别在边AC、边AB上时，如图1所示，EB与CD相交于点G，求∠CGE的度数；
（2）当点D、E分别在边CA、边AB的延长线上时，如图2所示，∠CGE的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出∠CGE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠ABC=60°，推出△ABE≌△BCD，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠BCD，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，利用等角的补角相等得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABE与三角形BCD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠D=∠E，利用外角性质及等量代换即可得证．

解答 解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°，
在△ABE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BD}\\{∠A=∠DBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠ABE=∠BCD，
∵∠ABE+∠CBG=60°，
∴∠BDG+∠CBG=60°，
∵∠CGE=∠BCG+∠CBG，
∴∠CGE=60°；

（2）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠CAB=∠ABC=60°，
∴∠EAB=∠CBD=120°，
在△ABE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠EAB=∠CBD}\\{AE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠D=∠E，
∵∠ABE=∠DBG，∠CAB=∠E+ABE=60°，
∴∠CGE=∠D+∠DBG=60°．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．