Question

（1999•黄冈）在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，且=k（k＞0）．阅读下段材料，回答下列问题：
如图，连接BD，∵，∴EH∥BD，∵，∴FG∥BD，∴FG∥EH．
（1）连接AC，则EF与GH是否一定平行，答：______；
（2）当k值为______时，四边形EFGH为平行四边形；
（3）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足______条件时，EFGH为矩形；
（4）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足______条件时，EFGH为菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）当E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点时，EF与GH一定平行；
（2）要使四边形EFGH为平行四边形，E，F，G，H必须分别是AB，BC，CD，DA的中点；
（3）要使平行四边形EFGH为矩形，则对角线AC与BD必须垂直，
（3）要使平行四边形EFGH为菱形，则对角线AC与BD必须相等．
解答：解：（1）∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，∴EH与AC，FG与AC都不一定平行，EF与GH不一定平行；

（2）∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH，
∴，
∵，
∴BF=CF，
∴k=1；

（3）当AC⊥BD时，EFGH为矩形．
由（2）得：四边形OMHN是平行四边形，
∴∠H=∠MON=90°，
∴平行四边形EFGH为矩形；

（4）当AC=BD时，
∵EH=GF=BD，EF=GH=AC，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH为菱形．
点评：掌握特殊平行四边形的判定是解此题的关键．