Question

【题目】如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵CD⊥AB

∴∠CEB=90°

∴∠C+∠B=90°，

同理∠C+∠CNM=90°

∴∠CNM=∠B，

∵∠CNM=∠AND

∴∠AND=∠B，

∵ ，

∴∠D=∠B，

∴∠AND=∠D，

∴AN=AD；

（2）解：设OE的长为x，连接OA

∵AN=AD，CD⊥AB

∴DE=NE=x+1，

∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，

∴OA=OD=2x+1，

∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，

∴x2+42=（2x+1）2．

解得x= 或x=﹣3（不合题意，舍去），

∴OA=2x+1=2× +1= ，

即⊙O的半径为 ．

【解析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE=x，则OE=x﹣1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x﹣1连结AO，则AO=OD=2x﹣1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和垂径定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧才能正确解答此题．