Question

（1）按下列要求作图：
①作∠AOB=60°；②作∠AOB的平分线OC．
（2）在你所作的图形中，P为OC上一点，过点P分别作OA，OB的垂线，垂足分别为E，F，设PE=x，四边形PEOF的面积为y，请写出y与x的关系式：______．

Answer 1

解：（1）①如图所示，∠AOB即为所求作的60°的角；
②如图所示，OC为∠AOB的平分线；

（2）∵OC为∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOC=30°，
∵PE⊥AB，PE=x，
∴OP=2PE=2x，
在Rt△POE中，OE===x，
所以S_△POE=OE•PE=×x•x=x²，
根据对称性，S_△POF=S_△POE，
所以四边形PEOF的面积为y=2×x²=x²．
故答案为：y=x²．
分析：（1）①以O为圆心，以任意长度为半径画弧，作线段OM，然后分别以O、M为圆心，以OM长为半径画弧，相交于点N，连接ON、MN，则△OMN是等边三角形，所以边OM、ON所在射线ON、OM的夹角即为60°的角；
②以O为圆心，以任意长为半径画弧交OA、OB于两点，再以这两点为圆心，以大于它们长度的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点O与这点作射线OC即可；
（2）根据角平分线的定义求出∠AOC=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OP=2PE=2x，利用勾股定理求出OE的长度，然后根据三角形的面积公式求出△POE的面积，再根据对称性可得四边形PEOF的面积．
点评：本题考查了等边三角形的作法，角平分线的作法，以及角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．