Question

（1）已知：5|（x+9y）（x，y为整数），求证：5|（8x十7y）．
（2）试证：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．

Answer 1

分析：（1）尝试把8x+7y写成x+9y的倍数与5的倍数的代数和的形式，
（2）逆用整式的加减，将每一类自然数表示为两个式子的和，并证明它们互质，注意分类讨论．

解答：证明：（1）已知5|（x+9y）（x，y为整数），
8x+7y=8x+72y-65y=8（x+9y）-65y，
因为已知5|（x+9y）（x，y为整数），65y也能被5整出．
故：5|（8x十7y）．

（2）①若n为奇数，设n=2k+1，k为大于2的整数，则写 n=k+（k+1），由于显然（k，k+1）=1，故此表示合乎要求．
②若n为偶数，则可设n=4k或4k+2，k为大于1的自然数．
当n=4k时，可写n=（2k-1）+（2k+1），并且易知2k-1与2k+1互质，
因为，若它们有公因子d≥2，则d|2，但2k-1与2k+1均为奇数，此不可能．
当n=4k+2时，可写n=（2k-1）+（2k+3），并且易知2k-1与2k+3互质，
因为，若它们有公因子d≥2，设2k-1=pd，2k+3=qd，p、q均为自然数，则得（q-p）d=4，可见d|4，矛盾．
故：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．

点评：此题主要考查了学生分析论证问题的能力，关键是（1）通过变式得证．（2）要运用分论证明的方法．