Question

8．如图，已知四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，且E在D上．
（1）求∠AEB；
（2）求证：DE=CE．

Answer 1

分析 （1）延长AE、BC交于点M，求出∠DAE=∠CME，AB=BM，根据ASA推出△ADE≌△MCE，根据全等得出AE=EM，∠DAE=∠M，求出∠M=∠BAE，推出AB=BM，根据等腰三角形的性质得出即可；
（2）过E作EF⊥AB于F，根据角平分线性质得出EF=DE，EF=CE即可．

解答 （1）解：延长AE、BC交于点M，

∵AD∥BC
∴∠DAE=∠CME，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAM，
∴∠BAM=∠CME，
∴AB=BM，
在△ADE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECM}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE，
∴AE=EM，∠DAE=∠M
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠M=∠BAE，
∴AB=BM，
∵AE=EM，
∴BE⊥AM，
∴∠AEB=90°；

（2）证明：如图2，过E作EF⊥AB于F，

∵∠D=∠C=90°，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC
∴EF=DE=CE，
即DE=CE．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，及等腰三角形的性质的应用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．