Question

（1）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE=DF；
（2）由第一小问可以得到的结论是：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，提问如果：DE、DF分别是AB、AC边上的中线或∠ADB、∠ADC的平分线，它们还相等吗？（只写出结果，不用证明）

Answer 1

解：（1）证明：∵D是BC的中点，
∴AD是等腰三角形ABC底边上的中线．
∴AD也是等腰三角形ABC顶角的角平分线．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
（2）相等．
分析：（1）D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF．
（2）DE、DF分别是AB、AC边上的中线，那么DE、DF就分别是直角三角形ABD和ACD斜边上的中线，因此DE、DF都分别等腰AB、AC的一半，因为AB=AC，所以DE=DF；
如果是∠ADB、∠ADC的平分线，可通过证明△ADE与△ADF全等，因为∠EAD=∠FAD，∠ADE=∠ADF，又有一条公共边，因此两三角形全等，所以DE=DF．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．